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“本质原因,它们都是乘法问题,有着共通性。”

楼主能不能解释一下这句话?我正好最近想通这个问题,这个想通,倒不是说刚发现他们内在有关系。因为在我看来,奥数只是一个思维过程。在我对奥数懵懵懂懂的时候,一个进水出水的问题被我用“思维”的方式解出,后来有人说这是“牛吃草”的方法。那个时候,我就觉得,专题是浮云了。

最近,我是刚刚想通这个内在的关系是什么,能够比较清晰得定义它。我定义出来的关系是:找不变量、找标准份。
我觉得方程或者说代数,是用未知数代入,从而把事物表面的关系非常简单得形成了一个等式,然后利用解方程的方法,去求出这个未知数即可。而奥数,实际上在没有这个工具的前提下,无法利用表面的那个对等关系,必须要找到潜在的那个“等式”,其实也就是数字之间的内在逻辑关系。

找到这个“关系”,才是奥数的精髓。不变量、标准份,是找到这个关系的"钥匙"或者说“线索”。

楼主能不能解释一下“乘法问题”,又怎么理解呢?


把我曾经与一“高人”的讨论贴在这里,作为一个总体思路吧。

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高人的回答:
  1. “乘法问题”,本质是“加法问题”的加速器。其本质,就是:单位份数的量×总份数=总份数的量
  2. 这也是乘法规则产生的基础。
  3. 对应不同类型的乘法问题:
  4. 速度×时间=路程
  5. 进水速度×时间=进水量
  6. 工程效率×时间=工程量
  7. 轮胎的磨损率×行程=轮胎的磨损程度
  8. ....
  9. 其根本意义是相同的。
  10. 要注意的问题,也是解决问题的基本点和关键点
  11. 1、这三个量,是有具体对应关系的。单位份数的量,一定是在某一过程中,保持均匀变化的速度,如果这个变化速度改变了,就一定要分段来分析了,即所谓到了临界状态。总份数一定是的所关心总量对应的总份数,总份数的量则一定是总份数所对应的总量。看似好理解,又有些绕口的概念,其实是很重要,也是很多人在面临复杂问题时,容易犯错的地方——只见利(结论),不见义(原则)。反之,通过总份数与总份数对应的量,就可以求出单位份数的量(即所说的标准量),再藉此去求其他份数的量,或是其他量的份数。题目给了量,就去找对应的份数。当然,有时可能需要题目给的量和份数没有直接对应,需要相互靠近。那么怎么方便就怎么去对应。
  12. 2、三个量是基本的,但不限于只三个。比如牛吃草问题,是扩展的乘法关系:
  13. 牛吃草的量=牛的数量×每头牛吃草的速度×时间
  14. 草长的量 = 草地的数量×单位面积草长的速度×时间
  15. 关系的项目增加了,但乘法的本质并没有变。
  16. 可以把“牛的数量×每头牛吃草的速度”理解为追赶者的速度,牛的数量不同时,追赶者的速度不同
  17. “草地的数量×单位面积草长的速度”理解为被追赶者的速度,草地的数量不同时,被追赶者的速度不同
  18. 那么,做好了“翻译”工作,用行程问题,作为这一类抽象的乘法问题的“代表”,就无需去记忆什么公式了。
  19. 也可以说,这是方程方法的原始思想。行程问题之所以经典,就是它变化可以很复杂,而常识上来说并不难。将不同的对象特征,归纳到一个对象上(如行程问题),再从这个对象中抽象出一个类的特征(方程),这个过程,也是很多理论产生的过程。具体与抽象是一对镜子里的物像,具体的理解不到位,抽象的代表性也就差。
  20. 3、在初等代数中,乘法问题基本上是最常见的。不同的乘法问题,只是知识内容不同,涉及变量的复杂程度(如种类多少、是否常识等)不同。有些问题,还是涉及乘(除)法和加(减)法的复合问题,但一般是可以分解来解决的。物理、化学,凡涉及计算的,莫不如此。

  21. 以上是我这个数学爱好者的理解。
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我的再回答:
  1. 看懂了。我目前考虑的是“关系”,你说的是更具体的:关系是“乘法关系”。
  2. 小学数学脱不了四则运算,加减只是基础,乘除才是王道,而除本就是乘的逆运算。
  3. 所以,乘法关系,确实是很对,呵呵。
  4. 标准份(量),其实也就是被乘数,嘿嘿嘿。
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OK,奥数论“道”到此结束。
下面就是我和皮皮的亲子数学之旅了。

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本帖最后由 果果花 于 2014-2-28 17:53 编辑

2.我们的目标、方法、路线、原则

本地有一个很牛的数学培优机构MX,每学期会有入学考试。
我们的目标就是以MX考试为参照,能够不太费劲得“跟随”住MX的目标。

怎样算“跟随”住?俺现在也不知道。反正先跟着,再看跟得能有多紧。

具体的方式准备“以题为纲来带动各专题”,MX的要求就是俺们的方向标,俺手上的奥数书则是俺的专题工具,路线则是以方向标带动各专题,最后再看看有无盲区即可。

原则:
1)课堂数学教的思维内容不教,只帮忙理清更本质的内在的规律
2)不背公式,以思维去理解公式、记住公式而不是“背住”公式

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本帖最后由 果果花 于 2014-2-28 17:54 编辑

3    6-1   0.5H

多么具有纪念意义的一天啊

起点从厘清基本概念说起:
什么是乘法,什么是除法。

皮皮是怎么回答我已经忘记了,总之没达到我希望的。

我告诉他:

所以的数学式子都是有含义的,它们都对应着事物之间的关系。数学不能是只看到数字和算式,把算式列出来算出得数,而是要认真分析算式的意义。

OK,加法减法很简单,我就不跟你说了。

咱们来说说乘法吧。乘法有两个基本概念。
(画图:每个盘子5个苹果,3个盘子)
一共有多少个苹果?

皮皮列算式:5*3=15

对的,这里面有两个概念,一个是每(重音)个盘子有5个苹果,这个5是重复的,第一个盘子里面是5个,第二个盘子里面还是5个。3是不重复的,是表示是多少盘,有多少个重复的5。
皮皮回答:嗯,就是3个5相加。
妈妈:对,3个5相加。皮皮你们老师教的不分被乘数和乘数了,只说是因数。那么从今天开始,妈妈告诉你,你列算式必须分清楚被乘数和乘数,因为它们所对应的意义不一样。这个被乘数,就是妈妈所说的重复的那个量,而3,是乘数,是表示有多少个重复的量。

乘法的第一个概念:多少个重复的量相加

好,皮皮,妈妈接着来告诉你乘法的第二个概念。
5*3=15,我们说15是5的3倍。这个”倍“,就是乘法的第二个意义。所以,乘法代表着几倍。
皮皮也表示懂了。

接着说除法。除法和乘法是相反的。根据5*3=15,你能列出几个除法算式?
皮皮列出:15/3=5    15/5=3
我请他说出第一个算式的意义。
他说:把15个苹果分成3盘。
我说:皮皮,你们有过题目判断对错,你如果这样说就是错的,你漏了最关键的两个字。
皮皮说:平均
我说:对,平均。15/3=5的意义就是把15平均分成3份(我隐去了苹果和盘子,直接过渡到了数字的基本意义)。好,再说说15/5吧。
皮皮词不达意,但基本表达出来了。
我说:对的,15/5=3的意思是,把15,每5个分一份,一共可以分几份。

好的,除法也有两个含义,一个是平均分成几份,每份几个;一个是每几个一份,一共分几份。
中间皮皮问过有余数的情况,我告诉他先不考虑余数。

然后结合刚刚错过的例题,也是触发我要开始亲子数学的一个”点“。

6个小朋友在30米的距离排队,每两个小朋友之间的距离相等,问每两个小朋友之间的距离是多少。
(画图)

你看,6个小朋友,有5个间隔,30米的距离被平均分成了几段?
5段。
那应该怎么算?
6-1=5    30/5=6。
对。你之前用30/6=5,5+1=6。虽然结果是对的,但算式完全没有含义。为什么要用30/6呢?这是6个小朋友,但30是被平均分成了几段呢?(内伤啊~~~~~~~~~~~)
(笑)

OK,乘除基本概念到此为止。

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6-1  之盈亏问题

题举目张,哈哈。
这次的题目是小跑给我的他们学校的二年级数学竞赛题。

这个题目给我的感觉是:难,但不好。

所谓难,就是:有套路,没学过的孩子很难用”思维“解出题来。但对于学过的孩子来说,又是很基本的题,没什么变化,考不出孩子之间的差别。

以下这两个题目是同一类题目,专题是:盈亏问题

11、如果在一个小本子里各页贴一片树叶,就多出4片树叶;如果在每页贴2片树叶就会空出6页,这个小本子共(      )页,树叶(     )片。
13、幼儿园把一批桔子分给小朋友,如果分给大班学生每人5个余10个;如果分给小班学生每人8个缺2个。已知大班比小班多3人,桔子(      )个,大班(      )人,小班(      )人。


盈亏问题在此不讲,请查奥数书或者百度哈。

我针对11题,给皮皮讲解了用画图解题的方法,并告知了他画图要注意的技巧。手头无图,下次再来补画图技巧说明。

第13题,请皮皮自己解。小皮问我:妈妈,25除以3是几啊?我说:除不尽。
小皮想了想,试探着说:把2加上去,27/3=9。
为了鼓励他的”题感“和”数感“,我及时赞许和肯定:对的。
他问:”可是,妈妈,为什么要加上这个2呢?"
我解释了。然后他就做对了。

本来想再找两道盈亏问题的题给他做,可他爸来捣乱了。于是盈亏问题到此为止。

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这类题目我会做。后来想找题目的时候,拿着二年级奥数书到处找不到类似题目。
我手头的举一反三只到二年级。
但单樽的另一套奥数书我有全套,于是拿了本三年级的来看,才发现是“盈亏问题”,是三年级奥数书上的。
所以,真心难了。
不知道MX的题目和这些书的体系是否一样,等我慢慢来琢磨。

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6-1 之和倍问题

他爸来捣乱了,说:“皮皮,这个第3题你应该能做出来的”

这个题是这样子的:
两个仓库共有货物102吨,如果从甲仓库调入乙仓库5吨,甲仓库的货物就正好是乙仓库的2倍,甲仓库原有货物(      )吨,乙仓库原有货物(      )吨。


皮皮想的时候,我就翻着三年级的奥数书,注意,又是三年级!
和倍问题,哦,原来这就是和倍问题。

皮皮想不出来。
我说:皮皮,来我们先做个基本的。

我指着书上的和倍的第一个例题:
甲、乙仓库共有货物160吨,甲仓库的货物是乙仓库的3倍,问甲、乙仓库各有多少吨?
皮皮继续蒙。

我提示:皮皮,刚才做那两道题的时候,妈妈说过:当你不知道怎么做的时候,你先把题目给的条件用图表示出来,把他们的关系表示出来。
然后提醒:这次要画线段图
于是,皮皮就把图画出来了。
我帮他在两根线段前面分别标上“甲”和“乙”两个字。画图一定要写图示,以免自己混淆。
当两个线段图画出来之后,再在最后用大括号括起来,写上160的时候。皮皮就会做了。
俺觉得是之前搞清楚了乘法概念的功劳。

好,再回头去看原题。

皮皮说:“妈妈,我可不可以先不管那个5吨?”
我说:“你真棒,这个5吨就是先不管的”。
然后他就全部做对了!其中在算102/3的时候不会算,我说你自己想想吧。他把102拆成了90和12,然后会算了。

然后自己去验算了一把。(验算是我教的,老师没教过。我觉得现在的题目都可以通过验算来检验自己是否正确了)

然后就结束了。

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和倍问题是三年级专题
102/3目前没学过
各种超
但MX三年级秋的时候,我以前听说过的孩子是学过和倍的。不晓得是二年级下学期学还是暑期班学的。

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总结一下当前的学习
1、乘除法基本概念
2、盈亏问题
3、和倍问题

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高人的回答:
果果花 发表于 2013-6-3 23:47



    半夜起来如厕上来顶贴
     谢谢果果带来的福利盛宴!另外我负责督促要坚持下去哦

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